MATEMATICAS

MATEMATICAS

martes, 26 de mayo de 2015

Unidad III. Derivada de una función.

Unidad III. Derivada de una función.

3.1 Definición de la derivada.

En el primer caso, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.
Derivada

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.
El nacimiento y uso de las derivadas en el ámbito matemático, aunque tienen su origen en la Antigua Grecia, podemos establecer que hacen aparición como tal gracias a dos figuras históricas muy importantes: el matemático inglés Isaac Newton y el lógico alemán Gottfried Leibniz.
Y es que los mismos partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus antecesores en el tiempo para poder llevar a cabo sus propias aplicaciones y métodos. Así, por ejemplo, Newton descubrió algoritmos, procedió a acometer la reestructuración de lo que son las bases de cálculos y creó su propio método para realizar el cálculo de las tangentes.





3.2 Diferenciación de funciones por incrementos.


Para funciones de una variable $\,y = f(x)\,$, se define el incremento de $\,y\,$ como 

\begin{displaymath}\Delta y \, = \, f(x + \Delta x) - f(x) \end{displaymath}

y la diferencial de $\,y\,$ como 
\begin{displaymath}dy\,=\,f'(x)dx\end{displaymath}

$\,\Delta y\,$ representa el cambio en la altura de la curva $\,y\,=\,f(x)\,$ y $\,dy\,$ representa la variación en $\,y\,$ a lo largo de la recta tangente cuando $\,x\,$ varía en una cantidad $\,dx\,=\, \Delta x\,$.
En la siguiente figura se muestra $\,df\, \, \mbox{y} \, \, \Delta f\,$.
Figura 1: diferencial
 

Observe que $\,\Delta y - dy\,$ se aproxima a cero más rápidamente que $\,\Delta x\,$, ya que 
$\,\displaystyle{\epsilon\,= \, \frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\, = \, \frac{f(x ... ...x)\Delta x}{\Delta x}\, = \, \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - f'(x)}\,$
y al hacer $\,\Delta x \longrightarrow 0\,$, tenemos que $\,\epsilon \longrightarrow 0\,$. 
Por tanto
\begin{displaymath}\Delta y \, = \, dy + \epsilon\, \Delta x\end{displaymath}


donde $\,\epsilon \longrightarrow 0\,$ conforme $\,\Delta x \longrightarrow 0\,$. 

Ahora consideremos una función de dos variables $\,z\, = \, f(x, y)\,$. 
Si $\,x\,$ y $\,y\,$ son incrementados $\,\Delta x\,$ y $\,\Delta y\,$, entonces el correspondiente incremento de $\,z\,$ es 
\begin{displaymath}\Delta z\, = \, f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)\end{displaymath}


Con lo cual $\,\Delta z\,$ representa el cambio en el valor de $\,f\,$ cuando $\,(x, y)\,$ cambia a$\,(x + \Delta x, \; y + \Delta y)\,$.

 Definición  

Sean $\,f :\,D \subset \mathbb{R}^{2}\, \longrightarrow \mathbb{R}\,$una función escalar y $\,\Delta x\,$ y $\,\Delta y\,$ incrementos de $\,x\,$ y de $\,y\,$, entonces la diferencial total de la variable dependiente $\,z\,$ es

\begin{displaymath}dz\, = \, f_{x}(x, y)\Delta x + f_{y}(x, y)\Delta y\end{displaymath}


3.3 La derivada como razón de cambio.

 
RAZON DE CAMBIO

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo
  • El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
  • La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
  • El volumen de un globo mientras se infla
  • La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Qes
'Razón de cambio'
Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada
'Razón de cambio'
La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así
Q es creciente en el instante t si
'Razón de cambio'
Q es decreciente en el instante t si
'Razón de cambio'
La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente
La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es



3.4 Diferenciabilidad y continuidad.




 v    Así como existen límites unilaterales también podemos hablar de derivadas unilaterales. A continuación se dan las definiciones de derivadas por la derecha y por la izquierda de una función en un punto determinado.

v    La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos:

3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones. 

Reglas de derivación

Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivadade una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.

Derivada de una función de grado n

Una función de grado n, donde n es un exponente real, se representa por f(x)=x^{n} y su derivada es f'(x)=nx^{n-1}.
Algunos tipos de este tipo de funciones son: Función cuadrática, función cúbica, entre otras.
Por ejemplo la función:
f(x)=x^{3}
Lo primero es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:
f'(x)=3x^{3-1}
Quedando finalmente:
f'(x)=3x^{2}
Considérese la función  f(x)= x^{1/3}\,
Se tiene:
f\ '(x)= 1/3*x^{-2/3}

Derivada de una constante por una función

Cuando una función esté representada por medio de f(x)=cx^{n}, su derivada equivale a f'(x)=n(cx^{(n-1)}) de la siguiente manera:
Consideremos la siguiente función: f(x)=8x^{4}, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:
f'(x)=4(8x^{4-1})
Para obtener
f'(x)=32x^{3}
Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:
f(x)=7x
Entonces su derivada con respecto a esta variable será:
f'(x)=7
Puesto que  x^{0}=1


Derivada de una suma

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.
Es decir, (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x) o \frac{d[f(x)+g(x)]}{dx}=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}.
Como ejemplo consideremos la función f(x)=3x^{5}+x^{3}, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:
f '(x)=15x^{4}+3x^{2}


Derivada de un producto


La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:
"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar."
Y matemáticamente expresado por la relación  (f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \, . Consideremos la siguiente función como ejemplo:
h(x)=(4x+2)(3x^{7}+2)
Identificamos a f(x)=(4x+2) y g(x)=(3x^{7}+2), utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:
f'(x)=4 y que g'(x)=21x^{6}
Por lo tanto
h'(x)= 4\cdot(3x^{7}+2)+(4x+2)\cdot(21x^{6})
Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

h'(x)=84x^{7}+12x^{7}+42x^{6}+8
Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:
h'(x)=96x^{7}+42x^{6}+8
Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir  (f\cdot g\cdot h)' = (f\cdot p)'  en donde  p = g\cdot h  (sin importar que dos funciones escogemos).


Derivada de un cociente

Artículo principal: Regla del cociente
La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:
\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}
Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:
\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}
Es decir:
"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado".
Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:
h(x)=\frac{3x+1}{2x}
Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es g(x)=2x y se multiplique por la derivada del numerador que seria f'(x)=3; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador (f(x)) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de g(x)=2x, que seria g'(x)=2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:
h'(x)=\frac{(3)(2x)-(3x+1)(2)}{(2x)^{2}}
Ahora todo es cuestión de simplificar:
h'(x)=\frac{6x-6x-2}{4x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}




3.6 La regla de la cadena y de la potencia.


 y=(3x-2/4x-1)^6 

Es la derivada de una potencia; en el proceso tienes que realizar la regla de la cadena (derivar lo que está dentro del paréntesis, lo cual te lleva al problema de la derivada de un cociente te lo resuelvo por pasos para que lo observes. 


PASO 1 DERIVANDO LA PONTENCIA Y DEJANDO INDICADA LA REGLA DE LA CADENA 

y=(3x-2/4x-1)^6 

Y' = 6 (3x-2/4x-1)^5 * d (3x-2/4x-1) (dX) 


PASO 2. POR LA REGLA DE LA CADENA TENEMOS QUE DERIVAR EL COCIENTE 3x-2/4x-1 

La regla del cociente se expresa como 

a) el de abajo por la derivada del de arriba 

(4x-1)*3= 
12x-3 

b)menos (que colocare al unir todo) El de arriba por la derivada del de abajo 
(3x-2)*4= 

12x-8 

c) todo lo anterior dividido El de abajo el cuadrado. 
(4x-1) ^2 


UNIENDO TODO LO ANTERIOR PARA ENCONTRAR EL RESULTADO DE LA DERIVADA DEL COCIENTE 

(12x-3 ) - (12x-8) 
-------------------------- 
(4x-1) ^2 


SIMPLIFICANDO 
d (3x-2/4x-1) (dX)= (-3+8) / (4x-1) ^2 = 

d (3x-2/4x-1) (dX)= 5 / (4x-1) ^2 



SUSTITUYENDO ESTO EN LA EXPRESIÓN QUE HABÍAMOS DEJADA INDICADA ENCONTRAMOS LA DERIVADA QUE TE PIDEN 

Y' = 6 (3x-2/4x-1)^5 * d (3x-2/4x-1) (dX) 

Y' = 6 (3x-2/4x-1)^5 * [ 5 / (4x-1) ^2 ] 

REALIZANDO EL PRODUCTO 

Y' = 30 (3x-2/4x-1)^5 / (4x-1) ^2 


ahora si te das cuenta; la potencia de 5 se puede separar para la expresion del numerador y para la expresion del denominador; y realizamos la ley del sandwich 


Y' = 30 (3x-2)^5 / ( 4x-1)^5 / (4x-1) ^2 


Y' = 30 (3x-2)^5 / ( 4x-1)^7 
y=(3x-2/4x-1)^6 
REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

                                             

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

                                           

entonces la función compuesta

                                     

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

                                     


Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m

                                   

aplicando la regla de la cadena, será:

                                 [u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,
                           






3.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al
ahorro. 

En economía y finanzas, elcoste marginal o costo marginal, mide la tasa de variación del coste dividida por la variación de la producción.

Matemáticamente, la función del coste marginal CMa es expresada como la derivada de la función del coste total CTcon respecto a la cantidad Q:
CM={\frac{dCT}{dQ}}
La curva que representa la evolución del costo marginal tiene forma de parábola cóncava, debido a la ley de los rendimientos decrecientes. En el punto mínimo de dicha curva, se encuentra el número de bienes a producir para que los costos en beneficio de la empresa sean mínimos. En dicha curva, el punto de corte con la curva de costes medios nos determina el óptimo de producción, punto a partir del cual se obtiene mayor producción mas beneficio en común se tiene por lo que hay que pensar marginalmente..
En política de precios el coste marginal nos marca el precio a partir del cual obtenemos beneficios, siempre y cuando hayamos alcanzado el umbral de rentabilidad o punto muerto.

INGRESO MARGINAL: Variación del ingreso total al incrementarse la producción (más específicamente, al incrementarse en una unidad).
IMg =  IT /  Q

A partir de la ecuación de la función de demanda (lineal, en nuestro ejemplo) se puede derivar la función de ingreso marginal:
P = a - b. Q

Dado que el ingreso total es P.Q (Precio por la cantidad vendida); multiplicando por Q

P.Q = a.Q – b.Q2

IT = a.Q – b.Q2

Derivamos para obtener el ingreso marginal:

d(P.Q)/dQ =a – 2b. Q

Dado que d(P.Q)/dQ es el ingreso marginal, resulta:

IMg = a – 2b. Q

Lo que implica que el ingreso marginal tiene el doble de pendiente (2b) que la función de demanda (lineal).

En relación con la función de demanda, el ingreso marginal puede representarse gráficamente de la siguiente manera:


 Utilidad marginal
Supongamos que un consumidor racional debe decidir gastar su ingreso disponible entre nbienes con algún criterio de optimización. La escuela neoclásica postula la existencia de una función escalar U para cada consumidor definida sobre el conjunto de combinaciones de nbienes que mide la utilidad o satisfacción total U(c) que obtendrá el consumidor después de haber consumido una combinación de bienes dada por las cantidades (q1,...,qn):
U:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \qquad U^{(c)} = U(q_1,...q_n)

En esas condiciones se define la utilidad marginal asociada al bien i como el aumento de la utilidad total al consumir una unidad adicional del bien i. Si admitimos que el bien i puede ser infinitamente divisible,1 la utilidad marginal u viene dada por:
u := \frac{\partial U(q_1,...q_n)}{\partial q_i}

La función de utilidad no es directamente medible y es subjetiva, es decir, depende de forma caprichosa de los gustos y deseos de cada consumidor. Así diferentes consumidores obtendrán satisfacciones o utilidades diferentes de la misma combinación de bienes, según sea esta combinación más o menos acorde a sus gustos y deseos.

Maximización de la utilidad

Artículo principal: Eficiencia de Pareto
De acuerdo con los postulados de la escuela neoclásica un consumidor racional tratará de obtener la máxima utilidad de su ingreso disponible lo cual, si admitimos la existencia de la anterior función de utilidad, conllevará que la combinación de bienes escogida por este consumidor racional será precisamente la combinación q que satisface las siguientes ecuaciones:
(1)\mbox{max} \quad U(q_1,...,q_n) = U(\bar{q}_1, ..., \bar{q}_n) \qquad \bar{q} = (\bar{q}_1,..., \bar{q}_n)
Sujeto a la restricción presupuestaria:
(2)\bar{q}_1p_1+\bar{q}_2p_2+...+\bar{q}_np_n = r_D
Por la teoría de extremos condicionados de Lagrange, se puede demostrar que las ecuaciones (1) equivalen a las ecuaciones (3), sujetas a la misma restricción presupuestaria:
(3)\frac{1}{p_1}\frac{\partial U(\bar{q})}{\partial q_1} = \frac{1}{p_2}\frac{\partial U(\bar{q})}{\partial q_2} = ... = \frac{1}{p_n}\frac{\partial U(\bar{q})}{\partial q_n}
Las condiciones anteriores puede resumirse en que el consumidor escogerá aquella combinación de bienes tales que las utilidades marginales divididas de los precios sean todas iguales. Ello significa que, partiendo de la premisa de que la utilidad marginal es decreciente, la maximización de la utilidad sobreviene cuando el último esfuerzo necesario para obtener el beneficio es exactamente igual al beneficio obtenido, momento a partir del cual la siguiente unidad de beneficio requerirá un esfuerzo mayor que el beneficio en su mismo, por lo que no merecerá la pena.

Curva de demanda

La forma de la función de utilidad determina igualmente la forma de la curva de demandaneoclásica que relaciona la cantidad consumida de un bien con el precio, cuando la utilidad es una función estrictamente convexa y los precios son cantidades positivas. Además puede probarse que si la utilidad marginal es decreciente entonces la curva de demanda tiene pendiente negativa y convexa al origen.
Para ver esto matemáticamente construimos la función auxiliar: \boldsymbol\Phi:\R^n\times\R^n \to \R^ndada por:
\begin{cases} \Phi_1(p,q) = \cfrac{u_1(q)}{p_1} - \cfrac{u_2(q)}{p_2}\\ \Phi_2(p,q) = \cfrac{u_1(q)}{p_1} - \cfrac{u_2(q)}{p_2}\\ \dots\\ \Phi_{n-1}(p,q) = \cfrac{u_{n-1}(q)}{p_{n-1}} - \cfrac{u_n(q)}{p_n}\\ \Phi_n(p,q) = p_1q_1 + \dots + p_n q_n = Y \end{cases}
Las soluciones de la ecuación \boldsymbol\Phi(p,q)=0 definen precisamente la "curva" de demanda. Para verificar la existencia de solución de esta ecuación aplicamos el teorema de la función implícita, existirá una función q = f_Y(p)\, tal que \boldsymbol\Phi(p,f_Y(p))=0, siempre y cuando el siguiente determinante no se anule nunca:
\det[D_{n+i}\boldsymbol\Phi_i] = \det\left[\frac{\part \boldsymbol\Phi_i}{\part p_i}\right]_{i=1\dots n} = \begin{vmatrix} -\cfrac{u_1}{p_1^2} & +\cfrac{u_2}{p_2^2} & 0 & \dots & 0\\ 0 & -\cfrac{u_2}{p_2^2} & +\cfrac{u_3}{p_3^2} & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ 0 & \dots & \dots & \dots & +\cfrac{u_n}{p_n^2}\\ q_1 & q_2 & q_3 & \dots & q_n \end{vmatrix}

la propensión marginal al ahorro (PMA)

 la propensión marginal al ahorro (PMA) es una métrica empírica que cuantifica el ahorro inducido, el concepto de que ante un aumento en el nivel de ingreso disponible aumentará el nivel de ahorro.
La propensión marginal al ahorro cuantifica que cantidad de un aumento en el ingreso disponible se destinará a ahorro. Por ejemplo, si una familia gana un dólar adicional de ingreso disponible, y la propensión marginal al consumo es 0,40, el hogar ahorrará 40 centavos y consumirá(propensión marginal al consumo) 60 centavos
El consumo medio de cualquier persona está supeditado a su capacidad económica. Lo que mide la propensión marginal al consumo (PCM), es el crecimiento de este consumo cuando incrementa la renta. O lo que es lo mismo, mide empíricamente el consumismo inducido por los ingresos adicionales (marginales). Esta relación entre consumo e ingresos se puede extrapolar en macroeconomía a conceptos de ahorro, importaciones y exportaciones, inversiones…
La PCM se calcula mediante derivadas, con la siguiente fórmula matemática:
PCM = dC/dYD
De donde:
PCM = Propensión marginal al consumo (fluctúa entre 1 y 0)
C = Consumo
YD = Ingreso disponible
El análisis keynesiano formula la PCM de la siguiente manera:
C = CO + cYD
De donde:
CO = Consumo autónomo o fijo.
c= Propensión marginal a consumir
Un ejemplo de PCM:
Situémonos en la hipótesis de una persona que ingresa 2000€, consume 1800€  y ahorra 200€. Si esta misma persona aumenta sus ingresos en 1€ (una unidad), podremos empezar a calcular la PCM.
De este modo, el importe de ingresos incrementaría, siendo el total 2001€. La cantidad destinada al consumo sería de 0,7€ y se ahorrarían 0,3€ más, pasando a ser los totales de 1800,7€ y 200,3€ respectivamente.
Lo que se pretende demostrar con este concepto es que, en el caso de que esos ingresos iniciales siguieran aumentando, cada vez se destinaría más al ahorro y menos al consumo, debido a que la capacidad económica del individuo aumentaría y las necesidades básicas de consumo estarían cubiertas, permitiendo un mayor ahorro. De este modo, podemos deducir que, con toda probabilidad, si se ingresara 1€ más, la relación consumo/ahorro podría ser de 0,6/0,4.
De esta relación entre consumo e ingresos se puede sacar la siguiente conclusión:
A medida que aumenta el nivel de ingresos, la PCM es menor. Dicho de otro modo, el aumento de ingresos es inversamente proporcional a la propensión marginal al consumo.

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