MATEMATICAS

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martes, 26 de mayo de 2015

Unidad IV. Tópicos complementarios de diferenciación.

Unidad IV. Tópicos complementarios de diferenciación.

4.1 Derivadas de funciones logarítmicas. 

En el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo, laderivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula
\frac{f'}{f} \!
donde f ′ es la derivada de f.
Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamentepositivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del logaritmo natural def, como se deduce aplicando directamente la regla de la cadena.

Propiedades básicas

Muchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada logarítmica, aún cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se tiene que
(\log uv)' = (\log u + \log v)' = (\log u)' + (\log v)' .\!
Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es la suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la regla de Leibniz para la derivada del producto y así obtener  \frac{(uv)'}{uv} = \frac{u'v + uv'}{uv} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} .\!  Por lo tanto, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están definidas).
En forma similar (de hecho es una consecuencia), la derivada logarítmica de de la función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:
\frac{(1/u)'}{1/u} = \frac{-u'/u^{2}}{1/u} = -\frac{u'}{u} ,\!
en la misma forma que el logaritmo de la recíproca de un número real positivo es la negación del logaritmo del número.
En forma general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor:
\frac{(u/v)'}{u/v} = \frac{(u'v - uv')/v^{2}}{u/v} = \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} ,\!
en la misma forma que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.
Con respecto a la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante), la misma es el producto del exponente y de la derivada logarímica de la base:
\frac{(u^{k})'}{u^{k}} = \frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}} = k \frac{u'}{u} ,\!
en forma análoga a que el logaritmo de una potencia es el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.
En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos poseen una regla del producto, unaregla recíproca, una regla del cociente, y una regla de la potencia (comparar con la lista de identidades logarítmicas); cada par de reglas se encuentran relacionadas mediante la derivada logarítmica.

Cálculo de derivadas ordinarias utilizando derivadas logarítmicas

Las derivadas logarítmicas pueden ayudar a simplificar el cálculo de derivadas que requieren la regla del producto. El procedimiento es el siguiente: Supongamos que ƒ(x) = u(x)v(x) y que se desea calcular ƒ'(x). En vez de realizar el cálculo en forma directa, calculamos su derivada logarítmica. O sea, se calcula:
\frac{f'}{f} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v}.
Multiplicando por ƒ se calcula ƒ':
f' = f\left(\frac{u'}{u} + \frac{v'}{v}\right).
Esta técnica es especialmente útil cuando ƒ es el producto de una gran cantidad de factores. La técnica descripta hace posible calcular ƒ' mediante el cálculo de la derivada logarítmica de cada factor, sumando, y multiplicando por ƒ.

Factores de integración

La idea de la derivada logarítmica está muy relacionada con el método del factor de integración para ecuaciones diferenciales de primer orden. Utilizando una notación en deoperadores, se tiene
D = d/dx
y sea M el operador de multiplicación por alguna función G(x). Entonces
M−1DM
puede ser escrito (por la regla del producto) como
D + M*
donde M* ahora es el operador de multiplicación por la derivada logarímica
G′/G.
En la práctica tenemos un operador tal que
D + F = L
y deseamos resolver ecuaciones del tipo
L(h) = f
para la fuunción h, conocida f. Por lo que el problema queda reducido a resolver
G′/G = F
que tiene la siguiente solución
exp(∫F)
con cualquier integral indefinida de F.


4.2 Derivadas de funciones exponenciales.

Derivación de Funciones Exponenciales






Sabemos que  e es un número irracional, pues e = 2.718281828...La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler(1727).
La función f(x) = ex   es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda.


 Como e > 1, la función f(x) = ex es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.
Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = ex. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,ex) es igual a la coordenada y de ese punto.  Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex  en el punto (0,1) la pendiente es 1.
 Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de:
1) y = e 2x - 1
3) y = x3ex
Ejercicio de práctica: Deriva:
Ejercicios: Deriva cada una de las siguientes funciones:

1)    f(x) = e2x
3)  
4)    g(x) = (e –x + e x)3
5)    y = x2 e-x
6)    y = x2 ex – 2x ex + 2 ex
7)    f(x) = 4x
8)    g(x) = 5 x – 2
9)    h(x) = 2e x + 1
10)   f(x) = 4 –x + !

Respuestas:

1)   f’(x) = 2e2x
3)  
4)   g’(x) = 3(ex – e-x)(e-x + ex)2
5)   y’ = -xe-x(x – 2)
6)   y’ = x2 ex
7)   f’(x) = (ln 4) 4x
8)   y’ = (ln 5) 5x – 2
9)   h’(x) = 2e x+1
10) f’(x) = -(ln 4) 4 –x + 1


4.3 Diferenciación implícita

v    Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da ydespejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y =f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita.
v    En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita.
v    Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.

4.4 Diferenciación logarítmica. 

En el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo, laderivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula
\frac{f'}{f} \!
donde f ′ es la derivada de f.
Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamentepositivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del logaritmo naturalde f, como se deduce aplicando directamente la regla de la cadena.

Propiedades básicas[editar]

Muchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada logarítmica, aún cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se tiene que
(\log uv)' = (\log u + \log v)' = (\log u)' + (\log v)' .\!
Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es la suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la regla de Leibniz para la derivada del producto y así obtener  \frac{(uv)'}{uv} = \frac{u'v + uv'}{uv} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} .\! Por lo tanto, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están definidas).
En forma similar (de hecho es una consecuencia), la derivada logarítmica de de la función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:
\frac{(1/u)'}{1/u} = \frac{-u'/u^{2}}{1/u} = -\frac{u'}{u} ,\!
en la misma forma que el logaritmo de la recíproca de un número real positivo es la negación del logaritmo del número.
En forma general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor:
\frac{(u/v)'}{u/v} = \frac{(u'v - uv')/v^{2}}{u/v} = \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} ,\!
en la misma forma que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.
Con respecto a la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante), la misma es el producto del exponente y de la derivada logarímica de la base:
\frac{(u^{k})'}{u^{k}} = \frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}} = k \frac{u'}{u} ,\!
en forma análoga a que el logaritmo de una potencia es el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.
En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos poseen una regla del producto, unaregla recíproca, una regla del cociente, y una regla de la potencia (comparar con la lista de identidades logarítmicas); cada par de reglas se encuentran relacionadas mediante la derivada logarítmica.

4.5 Derivadas de orden superior

Derivadas de orden superior

Si $f$ es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como: 
$f'=\{(x,y)/\;y=D_{x}f(x)\}$ para $x$ en el dominio $M$ de $f$. 
Si para algunos valores $x \in M$ existe el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}}}$ se dice que existe la segunda derivada de la función $f$ que se denota por $f''(x)$ o $D_{x}^{2}f(x)$, que equivale a$D_{x}[D_{x}f(x)]$. O sea, la segunda derivada de la función $f$ se obtiene derivando la primera derivada de la función. 
Ejemplos: 
  1. Si $f(x)=5x^{3}+6x^{2}-5x+1$ entonces: $f'(x)=15x^{2}+12x-5$ y 
    $f''(x)=30x+12$ 
  2. Si $\displaystyle{g(x)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}}$ entonces: $\displaystyle{g'(x)=\frac{(x-1)(2x+3)-(x^{2}+3x)}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}}$ y derivando nuevamente 
    $\displaystyle{g''(x)=\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^2-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^{2}-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)[(x-1)(2x-2)-(x^{2}-2x-3)]}{(x-1)^{4}}}$ 
    Por tanto $\displaystyle{g''(x)=\frac{8}{(x-1)^{3}}}$ 
Similarmente podemos decir que la derivada de $D_{x}^{2}f(x)$ respecto a "x" es la tercera derivada de $f$ respecto a "x" que se denota $D_{x}^{3}f(x)$ o $f'''(x)$. 
La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada $D_{x}^{4}f(x)$ y así podríamos continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de $f$ que se denota por $D_{x}^{n}f(x)$o $f^{(n)}(x)$. Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n. 
Ejemplos: 
  1. Determinar $g''(x)\; \mbox{si}\; g(x)=\sqrt{x^{2}+2x+3}$, donde $D_{g}=I\!\!R$ Solución: 
    Obtenemos primero $g'(x)$ 
    $\displaystyle{g'(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}}$ 
    Luego:
    $\displaystyle{g''(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+2x+3}-(x+1)\cdot \frac{(x+1)}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}}{\sqrt{(x^{2}+2x+3)^{2}}}}$ y se tiene que: 
    $\displaystyle{g''(x)=\frac{2}{(x^{2}+2x+3)\sqrt{x^{2}+2x+3}}}$ 
  2. Determinar $\displaystyle{f'''(x)\;\mbox{si}\; f(x)=2x^{\frac{1}{3}}-4x^{\frac{2}{5}}+x}$ Solución: 
    Se tiene que: 

     
    Por último: 

     
  3. Si $y=\sqrt{x}$ determinar $D_{x}^{n}y$. En este caso debemos dar una forma general para la derivada de orden n, partiendo de las regularidades que se presentan en las primeras derivadas que calculemos. 
    Así: 
     
      
     

    .
    .
         
    . 
  4. Obtener $D_{u}^{n}w \; \mbox{si}\; w=\displaystyle{\frac{1}{1+2u}}$.
    Solución:     Ejercicio para el estudiante
Una aplicación de la segunda derivada 
Anteriormente hemos estudiado que si $s = s(t)$ nos indica la distancia de una partícula al origen en un tiempo $t$, entonces $D_{t}s(t)$ es la velocidad en el tiempo $t$. 
Al calcular la derivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir, al calcular $D_{t}v(t)$ se obtiene la aceleración instantánea en el tiempo $t$. Si denotamos esta aceleración por $a(t)$ se tiene que $a(t)=D_{t}^{2}s(t)$, es decir, la aceleración es la segunda derivada de la distancia respecto al tiempo. 
Ejemplo: 
Sea $s=\displaystyle{\frac{32}{12+t^{2}}}\; \mbox{con}\; t\geq 0$, la ecuación que determina la distancia en el tiempo $t$(en segundos) de una partícula al origen en un movimiento rectilíneo. Determinar el tiempo, la distancia, y la velocidad en cada instante en que la aceleración es nula.

Solución: 
Si $\displaystyle{s=\frac{32}{12+t^{2}}} $ entonces la velocidad, $v$ está dada por: 
$\displaystyle{v(t)=\frac{-64t}{(12+t^{2})^{2}}}=s'(t)\; \mbox{y la aceleraci\'on es}\;a=\frac{192t^{2}-768}{(12+t^{2})^{3}}=v'(t)$ 
Averigüemos el tiempo en que la aceleración se hace cero. 
$a(t)=0 \Leftrightarrow 192t^{2}- 768=0 \Leftrightarrow t^{2}=4 \Leftrightarrow t=2$ 
Luego, la distancia recorrida cuando $t=2$ es $s=2$ metros y la velocidad en $t=2$es $\displaystyle{v=\frac{-1}{2}\;m/seg}$. 
Otros ejemplos con la segunda derivada 
Si $y = f(x)$ es la ecuación de una curva, se sabe que $f'(x)$ determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en un punto $(x,y)$. 
Se tiene que $D_{x}^{2}y$ es la razón de cambio de la pendiente de la recta tangente respecto a $x$. Más adelante utilizaremos la segunda derivada de una función para determinar los extremos relativos de una función y para determinar la concavidad de la gráfica de una función. 
Ejemplos: 
  1. Determinar la pendiente de la recta tangente en cada punto de la gráfica de la curva con ecuación $y=x^{4}+x^{3}-3x^{2}$, en los que la razón de cambio de la pendiente es cero. Solución: 
    Se tiene que $y'=4x^{3}+3x^{2}-6x$ da la pendiente de la recta tangente a la curva. 
    Además $y''=12x^{2}+6x-6$ determina la razón de cambio de la pendiente. 
    Debemos averiguar los valores de $x$ en los que esta razón de cambio es cero;
    Entonces $y''=0 \Leftrightarrow 6(2x-1)(x+1)=0 \Leftrightarrow x =\displaystyle{ \frac{1}{2}} \; \mbox{\'o} \; x=1$ 
    Luego, cuando $x=\displaystyle{\frac{1}{2}}$ la pendiente es $\displaystyle{y'= 12(\frac{1}{4})+\frac{6}{2}-6=0}$ y cuando $x=-1$ la pendiente $y'$ también es cero. 
  2. Determinar la razón de cambio de la pendiente en $(3,27)$ para la curva con ecuación $y=(2x-3)^{3}$.
    Solución: 
    La razón de cambio de la pendiente está dada por la segunda derivada de la función, así: 
    $D_{x}^{2}y=D_{x}(D_{x}y)=D_{x}[6(2x-3)^{2}]=12(2x-3)\cdot 2=24(2x-3)$ 
    En el punto con coordenadas $(3,27)$ la razón de cambio de la pendiente es:
    $24(2\cdot 3-3)=24(6-3)=72$
    Luego $D_{x}^{2}y=72 \;\mbox{en}\;(3,27)$

4.6 Diferenciales

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una funcióncorrespondiente al incremento h de la variable independiente, es el productof'(x) · h.
La diferencial de una función se representa por dy.
Diferencial
Diferencial

Interpretación geométrica

Diferencial de una función
Diferencial
Diferencial
La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.
4.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro. 

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