MATEMATICAS

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martes, 26 de mayo de 2015

Unidad V. Aplicaciones de la derivada

Unidad V. Aplicaciones de la derivada

5.1 Función creciente y decreciente. 

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo.x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2).
Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2).
Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b]. Fab.gif
En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)
2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea f una función continua en el intervalo cerrado \left [ a,b\right ]  y derivable en el intervalo abierto \left (a,b\right ).
  1. Si {f}'(x)>0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es creciente en \left [ a,b \right ]
  2. Si {f}'(x)<0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es decreciente en \left [ a,b \right ]
  3. Si {f}'(x)=0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es constante en \left [ a,b \right ]

Ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x2 − 4x + 1).
Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.
Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.
Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.
En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.
Ejemplo1.gif


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5.2 Extremos relativos y extremos absolutos. 

1- Conceptos de extremos absolutos, extremos relativos, puntos críticos


Extremos relativos
La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cualf(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cualf(x) esté definida.
 
f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.
Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.
La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos.
Nota Nuestra definición de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativo a un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo permiten.		Ejemplo
Sea
    f(x) = x2- 2x,   con dominio [0, 4].
Aquí es su gráfica.
Mirando la gráfica, se observa que f tiene:
  • Un máximo relativo a (0, 0);
  • Un mínimo relativo a (1, - 1);
  • Un máximo relativo a (4, 8).
Inicio de página
Extremos absolutosExtremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.
La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.
Nota Todos los extremos absolutos son automáticamente extremos relativos, según nuestra convención.		Ejemplo
Sea otra vez
    f(x) = x2- 2x,   con dominio [0, 4].
Mirando a sus extremos relativos, observamos que:
  • El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto;
  • El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto;
  • El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.
Nota Si cambiamos el dominio a [0, +∞), entonces no sería ningún máximo absoluto (¿por qué?).


Puntos críticos

Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a o b del dominio [a,b] de definición de la función.
Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimización. Aunque nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas

5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos. 

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

Teorema valor máximo y mínimo

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c)puede clasificarse como sigue."
1. Si f '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).
2. Si f '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).
3. Si f '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada. 

Concavidad y puntos de inflexión

La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:
Definición  de concavidad
Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A,$(A\subseteq D_{f})$, si $f'(x)$ es creciente sobre A. Si $f'(x)$ es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo $]a,b[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]b,c[$

Teorema 5
Si f es una función tal que $f''(x)>0$ cuando $x \in ]a,b[$, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre $]a,b[$.

Demostración:

Si $f''(x)>0$ y como $f''(x)= D_{x}f'(x)$, entonces se tiene que $f'(x)$ es creciente sobre $]a,b[$ por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre $]a,b[$.
Teorema 6
Si f es una función tal que $f''(x)<0$ cuando $x \in ]a,b[$, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.

Demostración:

De la hipótesis: $f''(x)<0$, y como $f''(x)_{x}=D_{x}f'(x)$, se obtiene que $f'(x)$ es decreciente sobre $]a,b[$ por lo que según la definición dada sobre concavidad, la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.

Si $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}-\displaystyle\frac{x^3}{3}$ entonces $f'(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}-x^2$, y, $f''(x)=x^2-2x=x(x-2)$
Luego, $f''(x)>0$ si $x \in ]-\infty,0[ \; \cup \; ]2,+\infty[$ y, $f''(x)<0$ si $x \in ]0,2[$.
Como $f''(x)= D_{x}f'(x)$, entonces $f'$ es creciente en los intervalos $]-\infty,0[\;,\; ]2,+\infty[$, pues en ellos $f''(x)$ es positiva. Además $f'$ es decreciente en el intervalo $]0,2[$ pues en el $f''(x)$ es negativa.
Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo $]-\infty,0[ \; \cup \; ]2,+\infty[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]0,2[$.
La representación gráfica de la función $f'$ es la siguiente:
Representación gráfica de la función $f'$
Observe que $f'$ es creciente en $]-\infty,0[$ y $]2,+\infty[$ y decreciente en $]0,2[$.
Representación gráfica de la función f:

Representación gráfica de la función f

Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos $]-\infty,0[\;,\;\; ]2,+\infty[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]0,2[$.
Damos ahora la  definición de punto de inflexión
Definición
Se dice que $(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si existe un intervalo $]a,b[$ tal que $x_{0} \in ]a,b[$, y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre $]a,x_{0}[$, y cóncava hacia abajo sobre $]x_{0},b[$, o viceversa.

Ejemplos:
1.
El punto $(0,1)$ es un punto de inflexión de la curva con ecuación $f(x)=x^3+1$, pues $f''(x)=6x$ es positiva si $x>0$, y negativa si $x<0$, de donde f es cóncava hacia arriba para $x>0$, y cóncava hacia abajo para $x<0$.
Gráficamente se tiene:
 

2.
Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación$f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}+\displaystyle\frac{x^3}{6}-x^2+1$
Se tiene que $f'(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}+\displaystyle\frac{x^2}{2}-2x$ por lo que$f''(x)=x^2+x-2=(x-1)(x+2)$
Resolvamos las desigualdades $f''(x)>0, f''(x)<0$

La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo $]-2,1[$ pues en él $f''(x)<0$.
Luego los puntos $(-2,-3)$ y $\left(1,\displaystyle\frac{1}{4}\right)$ son puntos en los que cambia la concavidad y por tanto son puntos de inflexión.
La gráfica de la función f es la siguiente:

En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión. Gráficamente:
 

Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.

Teorema 7

Si $(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de f y si $f''(x_{0})$ existe, entonces $f''(x_{0})=0$

Demostración: Al final del capítulo.

Considere la función f con ecuación $f(x)=x^3+x^2+x$.
La segunda derivada de f es $f''(x)=6x+2$.
Note que $f''(x)>0$ si $x>\displaystyle\frac{-1}{3}$, y, $f''(x)<0$ si $x<\displaystyle\frac{-1}{3}$
Luego, f es cóncava hacia arriba para $x>\displaystyle\frac{-1}{3}$, y cóncava hacia abajo para $x<\displaystyle\frac{-1}{3}$
Se tiene entonces que $\left(\displaystyle\frac{-1}{3}, f\left(\displaystyle\frac{-1}{3}\right)\right)$ es un punto de inflexión.
Evaluando la segunda derivada de f en $x=\displaystyle\frac{-1}{3}$ resulta que $f''\left(\displaystyle\frac{-1}{3}\right)=0$ con lo que se verifica lo expresado en el teorema anterior.
En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.
Teorema 8
Si:
i.
f es una función continua sobre un intervalo I,
ii.
$x_{0}$ es un punto interior de I tal que $f''(x_{0})=0$, ó $f''(x_{0})$ existe, y
iii.
Si existe un intervalo $]a,b[$ con $x_{0} \in ]a,b[$, $(]a,b[ \in I)$ tal que: 
  1. $f''(x)>0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)<0$ cuando $x \in ]x_{0},b[$, entonces$(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de f. 
  2. $f''(x)<0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)>0$ cuando $x \in ]x_{0},b[$, entonces$(x_{0},f(x_{0}))$ es un punto de inflexión de la gráfica de f. 
  3. $f''(x)>0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)>0$ cuando $x \in ]x_{0},b[$, o bien, $f''(x)<0$ cuando $x \in ]a,x_{0}[$ y $f''(x)<0$ cuando $x \in ]x_{0},b]$ entonces$(x_{0},f(x_{0}))$ no es un punto de inflexión de la gráfica de f.

    Demostración: Es similar a la dada para el Teorema 4, sustituyendo f por $f'$, y $f'$ por $f''$.
  1. Sea f una función con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}+\displaystyle\frac{x^3}{6}-x^2+x$ con $x \in I \! \! R$. Note quef es una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La segunda derivada de f es $f''(x)=x^2+x-2$, que es igual a cero si y solo si $x=1$ ó $x=-2$. 

  1. Así $f''(-2)=f''(1)=0$ 

  1. Observemos la solución de las desigualdades $f''(x)>0$, y $f''(x)<0$ por medio de la siguiente tabla: 


De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como $f'(x)<0$ para $x \in ]-2,1[$ y $f''(x)>0$ para $x \in ]1,+\infty[$, entonces $(1,f(1))$ es un punto de inflexión.
  1. Consideraremos ahora la función g con ecuación: 


Como $f''(x)=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x-1}}$se tiene que $f''(x)$ nunca se hace cero y que $f''(1)$ no existe.


Note que es la función derivada $f'$ la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A. 

   

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación$f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}-\displaystyle\frac{x^3}{3}$ 
Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:

Como $f''(x)>0$ si $x \in ]-\infty,-2[ \;\cup \; ]1,+\infty[$ entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en esos intervalos. 

Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo. 

Ejemplo: 

Ejemplos:
  1. Como $f''(x)>0$ para $x \in ]-\infty,-2[$ y $f''(x)<0$ para $x \in ]-2,1[$ entonces $(-2,f(-2))$ es un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8. 
  1. , con $x\geq 1$

    Además $f''(x)$ es mayor que cero para $x \in ]1,+\infty[$, por lo que f siempre es cóncava hacia arriba en su dominio, y por lo tanto $(1,f(1))$ no es punto de inflexión. 


5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio. 


 Maximización de beneficios

la función objetivo, en la cual la variable dependiente representa el objeto a 
maximizar o minimizar y el conjunto de variables independientes indica los 
elementos que afectan de manera directa o indirecta, los cuales han de tomar 
ciertos valores dependiendo del problema que se trate.
Uno de los objetivos fundamentales de una empresa es lograr el máximo 
U
una empresa es la cantidad monetaria que ha de ganar al vender sus productos y 278
obtener un ingreso I(x) por esa venta, menos la parte que corresponde a solventar 
los gastos (costos C(x)) necesarios para llevar a cabo la producción. 
 U = I(x) – C(x)

Resulta obvio que para determinar la utilidad es un requisito conocer tanto 
el nivel de ingresos que tiene la empresa como el nivel de costos en el que 
incurre para producir.

El ingresoI(x) está en función de la cantidad de productos vendidos, es decir, 
se vende x cantidad de productos a un determinado precio p. En el momento en el 
cual la cantidad de artículos que se vende se multiplica por su precio, se tiene un 
monto monetario que caracteriza al ingreso de la empresa, es decir:
 I(x) = (p)(x)

La empresa siempre espera vender la mayor cantidad de artículos que le 
que si desea vender tales montos, lo hará con el objetivo de reducir al máximo 
los costos en los que incurre al llevar a cabo su ciclo productivo, es decir, la 
empresa espera optimizar sus recursos al y minimizar 
sus costos.

1. Maximizar el ingreso, es decir, vender la mayor cantidad de artículos 
posibles, con un nivel de costos constante.

2. Maximizar el ingreso y reducir el nivel de costos.

3. Minimizar los costos y mantener constante su nivel de ventas de forma 
que su ingreso no se vea afectado.

Naturalmente, el punto dos sería el ideal para una empresa, pero es el más 
difícil de lograr, por lo que es común buscar rutas alternativas para que se 
cumplan en la medida de lo posible los puntos 1 y 3.

dos posibilidades para lograrlo: minimizar los costos o maximizar el ingreso. 
necesaria en la mayoría de las ocasiones una maximización del ingreso, punto 
clave para obtener las mayores ganancias posibles.

En ocasiones no es tan importante sólo conocer los niveles de utilidad o 
ante pequeñas variaciones en los insumos, es por eso que al maximizar o 
minimizar cobra relevancia la marginalidad de una función.

Por ejemplo, para una empresa es relevante conocer en qué monto se 
incrementarán sus costos cuando tiene que producir mayor cantidad de bienes, o 
bien en qué cantidad se incrementarán sus utilidades cuando crecen sus ingresos. 
Resultado de imagen para maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.


 Minimización de costos

Dentro de una empresa, y casi en cualquier actividad que realizan los 
individuos, se tienen que hacer gastos para adquirir o producir algo. Esos gastos 
involucran un desembolso en términos monetarios que se realiza para satisfacer 
alguna necesidad. Tales gastos son considerados como costos, los cuales, si se 
ocupado, las materias primas y otros insumos que son necesarios para realizar 
una actividad que va encaminada a la obtención de un producto o servicio y 
cuya producción está encaminada a satisfacer diversas necesidades para los 
que tienen que hacer para satisfacer sus necesidades. 

Una empresa, al fabricar productos, incurre en ciertos costos que dependerán 
de la cantidad de productos que fabrica debido a que, según el nivel de producción 
que mantenga, será requerida más cantidad de insumos y mano de obra. En 
ese sentido, se maneja una función de costo total C(x), donde C es función de 
x (la cantidad de producción).

Lo importante para una empresa es que sus costos sean lo más pequeños 
posibles, es decir, lo que siempre se busca es minimizar el costo, ya sea el 
costo total o el costo promedio (por unidad). Si lo que se busca es minimizar 
el costo promedio, la condición básica que debe cumplirse es igualarse el costo 
marginal al costo promedio.

Análogamente al caso de maximización del ingreso o de la utilidad, la 
minimización implica que al tenerse una función de costo total, se debe obtener 
a cero para conocer la solución algebraica de la ecuación y posteriormente 
obtener la segunda derivada que debe tener un valor positivo que garantice 
la minimización.
El costo promedio debe considerarse como el costo de producir una unidad y 
se calcula dividiendo el costo total entre el número total de artículos producidos. 
De esta manera se tiene:
 Costo promedio = Cm(x) = C x como C x xC x C x
'm
'para minimizarlo se tiene xC (x) – C(x) = 0 de 
donde C x C x
x
'( ) C x m
( ) ( )


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